撰文/朱薇薇 王天志(云南师范大学数学学院）

你见过旋转楼梯吗？例如：老洋房一圈圈盘旋而上的阶梯，或者教堂尖塔那螺旋攀升的轮廓，极像豆角藤蔓绕着杆子爬。这种一圈圈升高的曲线，在数学里叫作“圆柱螺旋线”。

旋转楼梯的每一级台阶高度一致、转角均匀，既符合人体工学，又能让视线沿曲线自然上移，形成视觉引导的“舒适弧线”，具有独特的美学价值。

 

建筑中的点睛之笔

 

圆柱螺旋线的魅力在于，将数学的精确性与建筑的美学完美结合：一方面，它遵循严格的数学规律，确保结构的稳定性；另一方面，它创造出流畅的空间动线，赋予建筑独特的艺术表现力。从古典的欧式建筑到现代的钢结构设计，圆柱螺旋线始终是建筑师钟爱的设计语言。

旋转楼梯比普通楼梯更节省空间和材料，也会增加建筑的艺术性，是非常受欢迎的建筑美学设计方案。意大利威尼斯市的一座旋转楼梯，因形似蜗牛背上的壳而被称作“蜗牛楼梯”；早在我国明朝永乐年间，用来装饰宫殿的石柱——华表柱就已经应用了圆柱螺旋线，柱身雕刻着一条盘绕的巨龙，古人借石龙缠绕飞天之势表达了向往自由遨游云天之感。

圆柱螺旋线既有美的一面，也有实用的一面，为我们的生产生活提供了便利。

 

豆角藤蔓的旋转上升

 

在生活中，不知道大家有没有细心观察过豆角藤蔓的生长过程？实际上，豆角藤蔓的生长需要借助一根细竹竿或是木棍，让藤蔓绕着细竹竿不断向上爬，无论遇到什么阻碍，这种攀爬都不会停止。而远观豆角藤蔓，我们会看到其植株形成一条类似于圆柱螺旋线的曲线。

豆角之所以缠绕着细竹竿生长是有原因的。植物的生长离不开阳光，藤蔓长得越快，爬得越高，就越能获得足够的阳光。也就是说，豆角藤蔓的螺旋式攀爬可以让植株用最节能的方式将茎延伸到阳光充足的地方。

以圆柱螺旋线状生长的植株具有一定的弹性，这种弹性能使藤蔓牢牢附着在细竹竿或木棍上，不会因为风吹或外力干扰而被拉断。等到无外力作用时，这种弹性又能保障豆角的茎叶回到原来的位置。

藤蔓的爬绕形状是否规则取决于支撑物的形状。要想让豆角“爬”出完美的圆柱螺旋线，供其攀爬的支撑物必须粗细均匀、表面光滑，否则螺旋线就会不规则。

 

圆柱螺旋线的数学原理

 

早在公元前3世纪，阿基米德与他的老师柯农就已经开始研究螺旋线的数学性质了。他们发现的螺旋线被称作阿基米德螺线（等速螺线）。

如今，圆柱螺旋线在数学上的具体定义为：一个动点沿圆柱面的母线（指连接圆柱体两个底面上相对点的直线段，母线的长度通常表示圆柱体的高度）运动，同时该母线绕圆柱的轴（指圆柱体的中心线，即圆柱体的旋转对称轴）进行旋转，并且该运动为匀速。在这种综合运动的过程中，动点所描绘的轨迹即构成圆柱螺旋线。

圆柱螺旋线由3个基本参数组成：直径、导程和旋向。其中，圆柱的直径指底面圆的直径，通常用字母D表示。圆柱螺旋线的导程就是在该圆柱底面上的任意一点旋转一周，其沿轴上升的高度，一般用S表示。如若该动点只旋转一周就到圆柱顶，这圆柱的高即为圆柱螺旋线的导程；若动点旋转多圈到顶，则导程小于圆柱的高（若螺旋升角定为α，则导程通常为πD×tanα）。

圆柱螺旋线的旋向是该动点运动旋转的方向。螺旋线可分为左、右螺线，其方向我们通常可伸出一只手来判断。如果我们伸出右手，发现右手四指所指为螺旋方向，大拇指指向螺旋运动方向，则被称为右螺旋线；如果我们伸出左手，发现螺旋方向顺着左手四指，大拇指指向螺旋运动方向，则为左螺旋线。

我们经常提到的最短路径问题，圆柱体就是其中一个模型，圆柱螺旋线就是解题的突破口。一般解题方法是将圆柱体展开为平面图形，再将两点之间连线求出最短路径。

例如，一只蚂蚁在圆柱体底面上的任意一点，开始绕圆柱体表面向上爬行，那么，怎样才能使蚂蚁到达圆柱体的顶面圆上一点（起点和终点同侧）的爬行距离最近？

两点之间，线段最短，那这里的线段在哪里呢？答案是：当蚂蚁的爬行轨迹是1条圆柱螺旋线，即导程S为圆柱的高时，其爬行距离最短。为什么呢？当我们把圆柱体沿母线展开，会发现圆柱的侧面实际是一个长方形，这个长方形的对角线就是蚂蚁轨迹路线起点和终点间连接的线段（不信？拿一张长方形的A4纸卷个圆柱体试试），也就是那条最短距离线。通常在圆柱体表面的最短路径问题需要以此为原型思考。

回到前面我们所提到的豆角藤蔓上。如果细竹竿底面圆周长为5厘米，豆角藤蔓从A点到B点升高了12厘米，假设豆角藤蔓盘旋了两次，请问豆角藤蔓的爬行距离是多少呢？

我们还是需要先将圆柱展开为长方形，参考右图可见，展开后，AD为底面周长，长5厘米；AB等于DC，为豆角的升高距离，长12厘米；AC就是豆角藤蔓生长的长度。由勾股定理可得：

 

AC² = AD²+DC²

AC² = 5²+12²

⇒ AC=13（cm）

梁启超先生在《论中国学术思想变迁之大势》中写道：“故其学界为螺线形，虽千变万化，殆皆一线所引也。”其意思是说，虽然学术界瞬息万变，但所有的变化都源于一个基本的原则或理念，也就是将学术界比喻为一条螺旋线，虽然学术形式不断变化，但始终是围绕一个中心点旋转而成的。圆柱螺旋线在工程、科学及技术领域都有着广泛的应用，DNA分子中的双螺旋结构也是一种螺旋线。圆柱螺旋线的奥秘不止于此，我们对曲线秘密的探讨也不止于此，还有很多更有趣的曲线等着我们去发现和挖掘。